Iniciando uma discussão sobre o átomo de hidrogênio, Schrödinger colocou o seguinte problema: que espécie de ondas de de Broglie podem existir permanentemente no campo de força em torno do núcleo? Inicialmente Schrödinger dirigiu a sua atenção para ondas estacionárias, ou vibrações. As distribuições de ondas que Schrödinger visava, constituiriam os modos de vibrações das ondas de de Broglie no campo de força nuclear. Estes modos deveriam representar os estados estáveis do . átomo. Nesta época já era conhecida a equação matemática que regia o comportamento de ondas em geral, isto é, ondas de calor, ondas do mar, ondas sonoras, etc. Esta equação geral era uma equação diferencial que já havia sido deduzida muitos anos antes por d'Alembert. Suponhamos que existe f(x,y,z,t), uma função de x, y, z e t, que para cada ponto do x, y, z do espaço e a cada instante de tempo t, ela define um estado de vibração de um movimento de uma onda. Sendo este o caso, então a função f precisa satisfazer a equação de onda de d'Alembert, isto é

pode ser escrita como:

onde as operações de derivadas são representadas pelo operador ∇, conhecido como Laplaciano. Se agora nós quisermos determinar as ondas senosoidais que podem ser formadas, então nós precisaremos assumir que f representa uma onda estacionária definida como:

onde υ é a frequência das ondas em questão. A função Ψ define a altura máxima, ou a amplitude, da vibração no ponto x, y, z. A função Ψ é desconhecida, mas se substituirmos (3) em (2) teremos

A velocidade v que aparece na eq. (4) representa a velocidade de propagação das ondas de de Broglie de frequência υ; no entanto, para derivarmos a equação de Schrödinger nós assumiremos que v representa a velocidade da onda. Esta aproximação reduz o nosso rigor sem prejudicar o nosso objetivo. As ondas que estamos considerando estão associadas com o elétron que está se movendo no campo de força gerado pelo próprio núcleo do átomo. No entanto, nós vimos que a onda de Broglie num campo de força comporta-se como uma onda propagando-se num meio de índice de refração variável n. Em cada ponto do espaço o índice de refração é determinado pelo campo de força e pela energia E do elétron com a qual a onda está associada. Neste caso, o índice de refração do meio, é definido como

onde m_o é a massa do elétron em repouso e V é a energia potencial que o elétron teria no ponto x, y, z como consequência da força de atração nuclear. Note que o índice de refração pode ser definido como n = c / v onde c é a velocidade da luz no vácuo; por outro lado, a energia do elétron pode ser definida como ε = hυ. Sendo assim, é possível reescrevermos a eg. (5) como:

Agora, se nós substituímos na eq. (4) o valor de υ² / v² dado pela eg. (6), nós iremos obter a equação de onda de Schrödinger na forma relativística. Para simplificar, nós podemos simplesmente obter a equação não relativística de Schrödinger . Segundo a aproximação clássica a energia cinética é definida como ε = m_oc² + E. Assim substituindo esta definição de ε na eq. (6) e desprezando o termo (E - V)², então obteremos

onde E é a soma da energia cinética e potencial do elétron. Logo, vemos que E difere de ε por não incluir a energia de repouso m_oc². Substituindo (7) em (4), obtemos a famosa equação de Schrödinger não relativística, isto é

ou

Esta equação de Schrödinger nos dá então o comportamento da função que representa a amplitude das ondas Ψ(x,y,z), em cada ponto x, y, z do espaço, quando a energia total do elétron no átomo for igual a E. Como E representa a soma das energias cinética mais potencial, e como V representa a energia potencial determinada pelo campo de força do núcleo, então, o termo - (h² /2m_o) ∇² Ψ deve representar a energia cinética do elétron no átomo.

Apesar de termos derivado esta equação para o átomo de hidrogênio, ela se aplica a todos os sistemas onde as ondas estão associadas a um único elétron, movendo-se num espaço de três dimensões. No entanto, para cada sistema nós teremos uma função potencial V diferente.

Obviamente não é qualquer onda que satisfaz a equação de Schrödinger. Por exemplo, algumas considerações físicas indicam que a amplitude das vibrações não devem possuir descontinuidades de um ponto a outro no espaço, e também não podem ser infinitas. Logo, como a função Ψ representa a amplitude em cada ponto do espaço, então, nós concluímos que ela e suas derivadas (primeira e segunda) precisam ser contínuas e nunca podem ser infinitas em qualquer região do espaço ocupado pelas ondas. Sendo assim, as soluções da equação de Schrödinger precisam ser únicas, do contrário a onda seria indeterminada. A equação de Schrödinger não relativística generalizada, pode ser escrita como

A equação relativística seria dada por

Até este ponto nós tentamos mostrar como se chega à equação de Schrödinger através de uma sequência que possui uma certa lógica. No entanto teria sido possível introduzirmos os conceitos desta mecânica ondulatória simplesmente enunciando uma série de postulados fundamentais e que resumissem as principais conclusões aqui obtidas. Nós não procedemos assim para podermos derivar a equação de Schrödinger. Porém, como consequência da equação de Schrödinger , apareceram uma série de novos conceitos cujos significados evoluíram com o decorrer dos anos até ao presente. Por exemplo: se a função de onda Ψ do elétron do hidrogênio, representa o seu comportamento, como seria então possível calcularmos a distância entre o elétron e o núcleo? E a energia E do sistema? Tanto a distância como E são observáveis, isto é, podem ser medidas. No entanto, com esta nova mecânica quântica apareceu o conceito de valor médio ou valor esperado de uma observável. Estes conceitos também evoluíram. Assim, é interessante resumirmos as conclusões até aqui obtidas em termos de postulados que deverão ser considerados como “as regras do jogo”; entre estes nós enunciaremos alguns sobre os quais não falamos mas que são necessários para que possamos tirar rapidamente proveito da nova mecânica quântica.