A equação que contém a dependência da função de onda em φ, pode ser resolvida facilmente pois, Φ tem que ser tal que, derivada duas vezes dê ela própria multiplicada por m². Por inspeção da equação (62), vemos que de uma forma geral, Φ pode ser definida como

onde N é uma constante qualquer. A função (65) é uma solução aceitável, uma vez que substituída em (62) obtêm-se:

A solução mais geral de (62) seria dada pela combinação linear das soluções particulares, isto é, Φ = ae^imφ+be^-imφ. Porém, tomaremos como solução a exponencial com sinal positivo, ou seja

O que é Φ? É a parte da função de onda do átomo de hidrogênio que contém toda a dependência angular em φ. A função Φ deve ser normalizada à unidade (Postulado IV). Para que esta condição seja satisfeita, basta escolhermos a constante de normalização N, tal que < Φ l Φ > = 1.

Este valor de N pode ser calculado facilmente, pois

Logo, usando (66) e (67) nós podemos definir a função é normalizada, como

Além do mais, o Postulado III nos diz que Φ precisa ser unívoca, o que implica que

ou

 isto é

Note que a parte imaginária da equação (70) deve ser nula ao mesmo tempo que a parte real é igual à unidade. Para que esta equação seja satisfeita, isto é, para que sen(2 π m) = 0 e ao mesmo tempo cos(2 π m) = 1, é necessário que m seja igual a 0, +1, +2, +3 etc. Ou seja, a função dada por (68) só será uma solução da equação (62) quando a constante m for igual a um destes valores discretos. Isto equivale a dizer que a dependência em φ, da função de onda total, é quantizada. A constante m é um “número quântico” denominado “número quântico magnético”. Como já conhecemos Φ, podemos dizer que Ψ(r) já pode ser escrita como

O significado do número quântico magnético e suas implicações serão discutidas mais adiante e em outras ocasiões. A seguir nós mostraremos como resolver a equação diferencial em Φ; isto nos levará naturalmente ao conceito de um novo número quântico, conhecido como “número quântico azimutal”.

O átomo de hidrogênio é composto de duas partículas, o elétron e o próton. Isto significa que para resolvermos a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio, nós teremos que resolver um “problema de dois corpos”. Nestes casos, o que se faz normalmente é reduzir o problema de dois corpos a um problema de um único corpo. Vejamos como isto pode ser feito.

Considere o tratamento clássico de duas partículas de massas m₁ e m₂, sendo m₁ a massa do elétron e m₂ a massa do próton. As posições destas partículas no espaço podem ser especificadas pelos vetores r₁ e r₂ partindo da origem de um sistema de coordenadas cartesianas, mostrado na Fig. 1. As coordenadas das partículas 1 e 2 são, respectivamente (x₁, y₁, z₁) e (x₂, y₂, z₂). Entre as partículas 1 e 2 nós podemos traçar o vetor r = r₁ - r₂, sendo que os componentes do vetor r nós chamamos de x, y e z, definidos como:

 As coordenadas x, y e z são chamadas de coordenadas relativas ou coordenadas internas (vide Fig. 2). Em seguida traça-se o vetor R da origem ao ponto C, isto é, ao centro de massa do sistema. Chamando as coordenadas do centro de massa de X, Y e Z, nós definimos o vetor R como:

Fig. 1. Posicionamento do elétron e do próton do hidrogênio, utilizando coordenadas cartesianas (x, y, z) e polares esféricas (r, o e 0).

Pela definição de centro de massa para um sistema de duas partículas, podemos então definir X, Y e Z como:

As três equações (23) são equivalentes à equação

Além desta equação nós sabemos que

Considerando as equações (24) e (25) como um conjunto de equações simultâneas em função de duas variáveis r₁ e r₂ nós podemos então, resolver este sistema de equações e obter:

As equações (26) e (27) representam a transformação de coordenadas de x₁, y₁, y₂ e x₂, y₂, z₂, para x, y, z e X, Y, Z. Agora, nós já podemos lançar mão dos Postulados da mecânica quântica para escrever o Hamiltoniano para o átomo de hidrogênio, após ter feito as devidas transformações de coordenadas. Se nós representarmos a derivada de uma função em relação ao tempo por um ponto em cima da função, então a velocidade da partícula 1 pode ser definida como:

Para aplicarmos a equação de Schrödinger ao átomo de hidrogênio nós precisamos antes de mais nada escrever o hamiltoniano para ele, isto é, nós precisamos conhecer a energia cinética do hidrogênio e a função que representa o potencial de interação entre o elétron e o próton, isto é, a função V. A energia cinética T do átomo de hidrogênio, é a soma das energias cinéticas das duas partículas, isto é:

Derivando as equações (26) e (27) em relação ao tempo e substituindo estas derivadas em (29), teremos:

Lembrando a definição de um produto escalar de dois vetores, então R'-R''=|R| e r . r = |r|². Usando estas definições, a equação (30) pode ser reescrita como

Sendo M a massa total do sistema, isto é,

então, podemos definir a massa reduzida μ do sistema de duas partículas como

Usando (32) e (33) nós podemos reescrever (31) como

O primeiro termo em (34) é a energia cinética devido ao movimento de translação de todo o sistema de massa M, isto é, do átomo de hidrogênio. O segundo termo representa a energia cinética correspondente ao movimento interno das duas partículas (elétron e próton), que formam o hidrogênio. Note que

No início das nossas discussões nós tínhamos definido seis coordenadas x₁, y₁, y₂ e x₂, y₂, z₂ e consequentemente podíamos definir seis momentos lineares correspondentes:

Da mesma forma, agora nós podemos comparar (29) com (34) e utilizar as seis novas coordenadas x, y, Z, X, Y, Z para definir seis novos momentos, isto é

Sendo assim, é possível então definirmos os dois novos vetores momento como

Substituindo (36) e (37) em (34) nós obtemos

Uma vez conhecida a expressão para a energia cinética do hidrogênio, nós estamos então em condições de escrever uma expressão clássica para o Hamiltoniano (energia cinética + potencial) deste átomo. Como o potencial de interação V, entre o elétron e o próton, é puramente coulômbico, teremos que:

onde Z é o número atômico do átomo, -e² é o produto das cargas e (x² + y² + z²) é a distância entre o elétron e o próton, neste novo sistema de coordenadas, onde o próton encontra-se na origem. Logo, conhecendo T e V nós podemos fazer uso de (38) e (39) para escrever H, o Hamiltoniano do sistema:

Usando os Postulados da mecânica quântica, nós podemos substituir os componentes dos momentos pelos seus respectivos operadores e obter a seguinte equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio:

Isto é possível, uma vez que o sistema é conservativo, pois o potencial não depende do tempo. Nestas equações E_T é a energia total do átomo, isto é, energia cinética mais energia potencial e os símbolos x e X são usados simplesmente para representarem o conjunto de coordenadas x, y, z e X, Y, Z, respectivamente. Se agora assumirmos que a função Ψ pode ser definida como

 e se substituirmos (42) em (41) iremos obter

Dividindo ambos os lados da equação pelo produto ΨΦ, teremos

Note porém que (44) é uma equação diferencial composta pela soma de duas outras independentes entre si. Assim, podemos supor que

Considerando que a energia total E_T é constante, então é possível separarmos a equação diferencial (44) em duas outras:

A equação diferencial (46) é a equação de Schrödinger para uma partícula de massa M = m₁ + m₂ que se desloca no espaço, livre da ação de um campo de potencial (isto é V_cg = 0) ou, o que é equivalente, sob a ação de um campo de potencial constante que no caso é nulo: ela é a equação de Schrödinger para uma “partícula livre” e de massa M. Toda sua energia E_cg aparece sob a forma de energia cinética. A segunda equação diferencial, isto é, eq. (47), é a equação de Schrödinger para o elétron do átomo de hidrogênio. Este elétron teve sua massa corrigida de m, para μ = ( m₁ m₂ ) / M. A energia potencial V(x) é dada simplesmente pela interação coulômbica do elétron com o próton do núcleo, isto é

onde r é a distância entre o elétron e o próton e Z é número de cargas do núcleo, número atômico (no caso do hidrogênio Z=1). Neste caso, o campo de potencial dado por V(x) é isotrópico e varia simplesmente com o inverso da distância entre o elétron e o núcleo; este é um caso típico de problema de uma partícula sob a ação de um campo central. No momento nós não estamos interessados no movimento de uma partícula livre no espaço mas sim, na equação que descreve o comportamento do elétron no átomo. Por conseguinte, deixaremos a eq. (46) para ser discutida em outra ocasião e iremos concentrar a nossa atenção na eq. (47); assim, a equação que representa o elétron no átomo de hidrogênio pode ser escrita como

ou mais explicitamente

A equação (50) é comumente conhecida como a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio (quando Z = 1), onde E é a energia eletrônica total do elétron do átomo de hidrogênio. Resolver a equação de Schrödinger significa achar uma fórmula analítica ou numérica para a função de onda. Em geral, a resolução da equação de Schrödinger é bastante difícil.

Na realidade, somente para poucos casos é que conhecemos soluções analíticas exatas para esta equação. No que diz respeito a átomos, até o presente momento, só conhecemos soluções exatas para sistemas com um único elétron como é o caso do átomo de hidrogênio; entre as moléculas, um exemplo é o íon H₂⁺ para o qual as soluções exatas são conhecidas. Em outras palavras, somente conhecemos soluções analíticas exatas para sistemas atômicos e moleculares que possuem um único elétron. A esta altura só nos resta resolver a equação de Schrödinger para o hidrogênio, isto é, achar a função de onda ψ(x) para o hidrogênio. Como o átomo de hidrogênio tem simetria esférica então será conveniente trabalharmos com Coordenadas Polares Esféricas ao invés de Coordenadas Cartesianas. Utilizando as relações abaixo

Fig. 2. Coordenadas internas para o elétron do átomo de hidrogênio. Neste sistema o próton encontra-se na origem. A massa do próton é cerca de 1800 vezes maior do que a do elétron e por esta razão o centro de massa do sistema está muito próximo do próton.

podemos mostrar que o operador Laplaciano ∇² neste novo sistema de coordenadas será

Representando o conjunto de coordenadas r, θ, Φ por r, nós podemos reescrever a equação de Schrödinger para o hidrogênio como

De agora em diante o nosso objetivo será achar a função Ψ(r)  que satisfaz a equação diferencial (53). Para tal, nós supomos que v(r) pode ser representada por um produto de três funções, isto é

Com isto nós estamos supondo que a função R só depende de r, e que as funções Θ e Φ só dependem de θ e φ, respectivamente. Substituindo (54) em (53), teremos

Dividindo toda a equação (55) pelo produto R(r) Θ(θ) Φ(φ) e rearranjado, teremos que

Ora, como esta equação diferencial (56), na realidade é composta por três outras, isto é, uma que só depende de r, outra em θ, e outra em φ, então é conveniente desmembrá-la em três outras equações: para tal, basta multiplicarmos tudo por r²sen²θ e rearranjarmos os termos obtidos. Fazendo isto, obtemos:

Na eq. (57), r, θ e φ são variáveis independentes; porém, como o lado esquerdo desta equação depende de r e θ, e é igual a uma equação que só depende de φ, então é óbvio que esta igualdade só poderá ser satisfeita quando ambos os lados forem iguais a uma constante que por conveniência chamaremos de -m². Matematicamente esta constante é chamada de constante de separação. Sendo assim, teremos que

Lembrando que o potencial só depende de r, nós podemos então separar a equação (58) em duas outras, isto é

e

Entretanto reescrevendo a equação (59) e procedendo de forma análoga nós iremos obter

Sendo que neste caso a constante de separação é -b. Usando (60) e (61) nós podemos dizer que todo o nosso problema de encontrar a solução da equação de Schrödinger resume-se na procura das funções R, Θ e Φ que satisfazem as equações

Uma vez resolvidas estas equações nós teremos encontrado que nada mais é do que o produto R Θ Φ  e teremos, então, a função de onda que descreve o comportamento do elétron no átomo de H. Veremos também que como consequência, nós iremos encontrar três constantes que serão os números quânticos.

I. A todo sistema corresponde uma função de onda Ψ(x t).

II. A seguinte correspondência existe entre as variáveis dinâmicas e os seguintes operadores:

variáveis		operadores
x,y,z,t	→	x,y,z,t
f(x,t)	→	f(x,t)

 

Assim, se substituirmos as variáveis acima pelos seus operadores equivalentes, podemos utilizar uma fórmula clássica e adaptá-la à nova linguagem. Por exemplo, utilizando as equações clássicas de movimento de Hamilton, podemos mostrar que o Hamiltoniano H para um sistema conservativo é dado por

 H = T + V = E

onde E é a energia total do sistema e T e V são energias cinética e potencial, respectivamente. Uma força é conservativa se o trabalho W(A→B) feito pela força para mover um corpo de A→B, for independente do caminho seguido para ir de A a B. Um campo de força central (isto é, um campo cuja grandeza é função somente da distância do centro) é um exemplo de sistema conservativo. Sendo p o momento do sistema e sendo V a sua energia potencial que depende das coordenadas x, y e z, isto é V = V(x,y,z), então teremos,

 onde p é o momento e m é a massa da partícula. Usando as regras acima, o Hamiltoniano pode ser reescrito como

ou

Esta é a equação de Schrödinger para um sistema de 4 dimensões: três espaciais e uma temporal. O primeiro termo do lado esquerdo desta última equação representa o operador correspondente à energia cinética do sistema, e o segundo termo representa a energia potencial do mesmo.

III. Ψ(x,t) (onde x representa x, y, z) e suas derivadas primeiras, devem ser contínuas, finitas e unívocas.

 IV. Ψ(x,t) deve ser normalizada, isto é

O símbolo dv que aparece nas equações acima representa o elemento de volume: em coordenadas cartesianas dv = dx dy dz. V. A cada observável corresponde um operador A. O valor médio <A> ou valor esperado deste operador é definido como

Porém, se Ψ não for normalizada, então <A> é definido como

Muitas vezes nós usaremos a notação <Ψ|A|Ψ> e não <Ψ|AΨ>; no entanto ambas as notações possuem o mesmo significado. Desta forma, se conhecermos a. função de onda de um sistema nós podemos calcular “praticamente” quase tudo a respeito dele.