mqml

n = 1

$Z=1, a_{0}=1$

$\alpha=\frac{2Z}{n.a_{0}}=\frac{2 \cdot 1}{1_x1}=2$

l = 0

$\mathcal{\vec{R}} = \xi(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}})(\vec{\rho})^{l}f_{\text{lag}}(\beta,\gamma,\vec{\rho}) = 1.4142(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}})(\vec{\rho})^{0}f_{\text{lag}}(0,1,\vec{\rho})$

$\beta = (n-l-1) = (1-0-1) = 0$

$\gamma = (2l + 1) = (2 \cdot 0 + 1) = 1$

$\lambda = (n + l) = (1 + 0) = 1$

$\xi = \sqrt{\frac{\alpha^{3} \beta!}{2n (n+1)!}} \cdot \frac{1}{\lambda!} = \sqrt{\frac{2^{3} \cdot 0!}{2 \cdot 1 (1+1)!}} \cdot \frac{1}{1!} = 1.4142$

$\vec{\rho} = \alpha \vec{r} = 2\vec{r}$

m = 0

$\vec{\sigma} = e^{im\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(l,m,\cos(\vec{\theta})) = e^{i0\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(0,0,\cos(\vec{\theta}))$

$\mathcal{\vec{Y}} = f_{\text{ang}}(l,m,\vec{\theta},\vec{\phi}) = (-1)^m \cdot \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi} \cdot \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} \cdot \vec{\sigma} = f_{\text{ang}}(0,0,\vec{\theta},\vec{\phi}) = (-1)^0 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 0 + 1}{4\pi} \cdot \frac{(1-0)!}{(1+0)!}} \cdot \vec{\sigma} = 0.28209 \cdot \vec{\sigma}$

n = 2

$Z=1, a_{0}=1$

$\alpha = \frac{2Z}{n \cdot a_{0}} = \frac{2 \cdot 1}{2_x1} = 1$

l = 0

$\mathcal{\vec{R}} = \xi\left(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}}\right)(\vec{\rho})^{l} f_{\text{lag}}(\beta, \gamma, \vec{\rho}) = 0.10206\left(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}}\right)(\vec{\rho})^{0} f_{\text{lag}}(1, 1, \vec{\rho})$

$\beta = (n-l-1) = (2-0-1) = 1$

$\gamma = (2l + 1) = (2 \cdot 0 + 1) = 1$

$\lambda = (n + l) = (2 + 0) = 2$

$\xi = \sqrt{\frac{\alpha^3 \beta!}{2n (n+1)!}} \cdot \frac{1}{\lambda!} = \sqrt{\frac{1^3 \cdot 1!}{2 \cdot 2 (2+1)!}} \cdot \frac{1}{2!} = 0.10206$

$\vec{\rho} = \alpha \vec{r} = 1 \vec{r}$

m = 0

$\vec{\sigma} = e^{im\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(l, m, \cos(\vec{\theta})) = e^{i0\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(0, 0, \cos(\vec{\theta}))$

$\mathcal{\vec{Y}} = f_{\text{ang}}(l, m, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = (-1)^m \cdot \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi} \cdot \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} \cdot \vec{\sigma} = f_{\text{ang}}(0, 0, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = (-1)^0 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 0 + 1}{4\pi} \cdot \frac{(1-0)!}{(1+0)!}} \cdot \vec{\sigma} = 0.28209 \cdot \vec{\sigma}$

l = 1

$\mathcal{\vec{R}} = \xi\left(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}}\right)(\vec{\rho})^{l} f_{\text{lag}}(\beta, \gamma, \vec{\rho}) = 0.034021\left(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}}\right)(\vec{\rho})^{1} f_{\text{lag}}(0, 3, \vec{\rho})$

$\beta = (n-l-1) = (2-1-1) = 0$

$\gamma = (2l + 1) = (2 \cdot 1 + 1) = 3$

$\lambda = (n + l) = (2 + 1) = 3$

$\xi = \sqrt{\frac{\alpha^3 \beta!}{2n (n+1)!}} \cdot \frac{1}{\lambda!} = \sqrt{\frac{1^3 \cdot 0!}{2 \cdot 2 (2+1)!}} \cdot \frac{1}{3!} = 0.034021$

$\vec{\rho} = \alpha \vec{r} = 1 \vec{r}$

m = -1

$\vec{\sigma} = e^{i|m|\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(l, |m|, \cos(\vec{\theta})) = e^{i|-1|\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(1, |-1|, \cos(\vec{\theta}))$

$\mathcal{\vec{Y}} = f_{\text{ang}}(l, m, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = \sqrt{2}(-1)^m(-1)^{|m|} \cdot \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi} \cdot \frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}} \cdot \text{imag}(\vec{\sigma}) =$

$f_{\text{ang}}(1, -1, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = \sqrt{2}(-1)^{-1}(-1)^{|-1|} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 1}{4\pi} \cdot \frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}} \cdot \text{imag}(\vec{\sigma}) = 0.4886 \cdot \vec{\sigma}$

m = 0

$\vec{\sigma} = e^{im\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(l, m, \cos(\vec{\theta})) = e^{i0\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(1, 0, \cos(\vec{\theta}))$

$\mathcal{\vec{Y}}$ = $f_{\text{ang}}(l, m, \vec{\theta}, \vec{\phi})$ = $(-1)^m \cdot \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi} \cdot \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} \cdot \vec{\sigma}$ = $f_{\text{ang}}(1, 0, \vec{\theta}, \vec{\phi})$ = $(-1)^0 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 1}{4\pi} \cdot \frac{(1-0)!}{(1+0)!}} \cdot \vec{\sigma}$ = $0.4886 \cdot \vec{\sigma}$

m = 1

$\vec{\sigma} = e^{im\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(l, m, \cos(\vec{\theta})) = e^{i1\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(1, 1, \cos(\vec{\theta}))$

$\mathcal{\vec{Y}} = f_{\text{ang}}(l, m, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = \sqrt{2}(-1)^{m}(-1)^{m} \cdot \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi} \cdot \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} \cdot \text{real}(\vec{\sigma}) = f_{\text{ang}}(1, 1, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = \sqrt{2}(-1)^{1}(-1)^{1} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 1}{4\pi} \cdot \frac{(1-1)!}{(1+1)!}} \cdot \text{real}(\vec{\sigma}) = 0.4886 \cdot \vec{\sigma}$

n = 3

$Z=1, a_{0}=1$

$\alpha = \frac{2Z}{n \cdot a_{0}} = \frac{2 \cdot 1}{3_x1} = 0.66667$

l = 0

$\mathcal{\vec{R}} = \xi\left(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}}\right)(\vec{\rho})^{l} f_{\text{lag}}(\beta, \gamma, \vec{\rho}) = 0.010692\left(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}}\right)(\vec{\rho})^{0} f_{\text{lag}}(2, 1, \vec{\rho})$

$\beta = (n-l-1) = (3-0-1) = 2$

$\gamma = (2l + 1) = (2 \cdot 0 + 1) = 1$

$\lambda = (n + l) = (3 + 0) = 3$

$\xi = \sqrt{\frac{\alpha^3 \beta!}{2n (n+1)!}} \cdot \frac{1}{\lambda!} = \sqrt{\frac{0.66667^3 \cdot 2!}{2 \cdot 3 (3+1)!}} \cdot \frac{1}{3!} = 0.010692$

$\vec{\rho} = \alpha \vec{r} = 0.66667 \vec{r}$

m = 0

$\vec{\sigma} = e^{im\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(l, m, \cos(\vec{\theta})) = e^{i0\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(0, 0, \cos(\vec{\theta}))$

$\mathcal{\vec{Y}} = f_{\text{ang}}(l, m, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = (-1)^m \cdot \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi} \cdot \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} \cdot \vec{\sigma} = f_{\text{ang}}(0, 0, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = (-1)^0 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 0 + 1}{4\pi} \cdot \frac{(1-0)!}{(1+0)!}} \cdot \vec{\sigma} = 0.28209 \cdot \vec{\sigma}$

l = 1

$\mathcal{\vec{R}} = \xi\left(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}}\right)(\vec{\rho})^{l} f_{\text{lag}}(\beta, \gamma, \vec{\rho}) = 0.00189\left(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}}\right)(\vec{\rho})^{1} f_{\text{lag}}(1, 3, \vec{\rho})$

$\beta = (n-l-1) = (3-1-1) = 1$

$\gamma = (2l + 1) = (2 \cdot 1 + 1) = 3$

$\lambda = (n + l) = (3 + 1) = 4$

$\xi = \sqrt{\frac{\alpha^3 \beta!}{2n (n+1)!}} \cdot \frac{1}{\lambda!} = \sqrt{\frac{0.66667^3 \cdot 1!}{2 \cdot 3 (3+1)!}} \cdot \frac{1}{4!} = 0.00189$

$\vec{\rho} = \alpha \vec{r} = 0.66667 \vec{r}$

m = -1

$\vec{\sigma} = e^{i|m|\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(l, |m|, \cos(\vec{\theta})) = e^{i|-1|\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(1, |-1|, \cos(\vec{\theta}))$

$\mathcal{\vec{Y}} = f_{\text{ang}}(l, m, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = \sqrt{2}(-1)^{m}(-1)^{|m|} \cdot \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi} \cdot \frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}} \cdot \text{imag}(\vec{\sigma}) = f_{\text{ang}}(1, -1, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = \sqrt{2}(-1)^{-1}(-1)^{|-1|} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 1}{4\pi} \cdot \frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}} \cdot \text{imag}(\vec{\sigma}) = 0.4886 \cdot \vec{\sigma}$

m = 0

$\vec{\sigma} = e^{im\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(l, m, \cos(\vec{\theta})) = e^{i0\vec{\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(1, 0, \cos(\vec{\theta}))$

$\mathcal{\vec{Y}} = f_{\text{ang}}(l, m, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = (-1)^m \cdot \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi} \cdot \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} \cdot \vec{\sigma} = f_{\text{ang}}(1, 0, \vec{\theta}, \vec{\phi}) = (-1)^0 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 1}{4\pi} \cdot \frac{(1-0)!}{(1+0)!}} \cdot \vec{\sigma} = 0.4886 \cdot \vec{\sigma}$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(1,1,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(1,1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{1}.(-1)^{1}.\sqrt{\frac{2.1+1}{4\pi}.\frac{(1-1)!}{(1+1)!}}.real(\vec\sigma)=0,4886.\vec\sigma$

l = 2

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $0,00037801(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{2}f_{lag}(0,5,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(3-2-1)=0$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.2+1)=5$

$\lambda=(n+l)=$ $(3+2)=5$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,66667^{3}0!}{2.3(3+1)!}}.\frac{1}{5!}=0,00037801$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,66667\vec r$

m = -2

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-2|\vec\phi}.f_{leg}(2,|-2|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,-2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-2}.(-1)^{|-2|}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-|-2|)!}{(1+|-2|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,18209.\vec\sigma$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(2,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,36418.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(2,0,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.\vec\sigma=$ $f_{ang}(2,0,\vec\theta,\vec\phi)=(-1)^{0}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-0)!}{(1+0)!}}.\vec\sigma=0,63078.\vec\sigma$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(2,1,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{1}.(-1)^{1}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-1)!}{(1+1)!}}.real(\vec\sigma)=0,36418.\vec\sigma$

m = 2

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i2\vec\phi}.f_{leg}(2,2,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{2}.(-1)^{2}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-2)!}{(1+2)!}}.real(\vec\sigma)=0,18209.\vec\sigma$

n = 4

$Z=1,\ a_{0}=1$

$\alpha=\frac{2Z}{n.a_{0}}=$ $\frac{2.1}{4_{x}1}=0,5$

l = 0

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $0,0011646(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{0}f_{lag}(3,1,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(4-0-1)=3$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.0+1)=1$

$\lambda=(n+l)=$ $(4+0)=4$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,5^{3}3!}{2.4(4+1)!}}.\frac{1}{4!}=0,0011646$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,5\vec r$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(0,0,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.\vec\sigma=$ $f_{ang}(0,0,\vec\theta,\vec\phi)=(-1)^{0}.\sqrt{\frac{2.0+1}{4\pi}.\frac{(1-0)!}{(1+0)!}}.\vec\sigma=0,28209.\vec\sigma$

l = 1

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $0,00013448(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{1}f_{lag}(2,3,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(4-1-1)=2$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.1+1)=3$

$\lambda=(n+l)=$ $(4+1)=5$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,5^{3}2!}{2.4(4+1)!}}.\frac{1}{5!}=0,00013448$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,5\vec r$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(1,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(1,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.1+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,4886.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(1,0,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.\vec\sigma=$ $f_{ang}(1,0,\vec\theta,\vec\phi)=(-1)^{0}.\sqrt{\frac{2.1+1}{4\pi}.\frac{(1-0)!}{(1+0)!}}.\vec\sigma=0,4886.\vec\sigma$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(1,1,cos(\vec\theta))$

l = 2

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $1,5848e-05(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{2}f_{lag}(1,5,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(4-2-1)=1$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.2+1)=5$

$\lambda=(n+l)=$ $(4+2)=6$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,5^{3}1!}{2.4(4+1)!}}.\frac{1}{6!}=1,5848e-05$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,5\vec r$

m = -2

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-2|\vec\phi}.f_{leg}(2,|-2|,cos(\vec\theta))$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(2,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,36418.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(2,0,cos(\vec\theta))$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(2,1,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{1}.(-1)^{1}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-1)!}{(1+1)!}}.real(\vec\sigma)=0,36418.\vec\sigma$

m = 2

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i2\vec\phi}.f_{leg}(2,2,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{2}.(-1)^{2}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-2)!}{(1+2)!}}.real(\vec\sigma)=0,18209.\vec\sigma$

l = 3

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $2,2641e-06(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{3}f_{lag}(0,7,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(4-3-1)=0$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.3+1)=7$

$\lambda=(n+l)=$ $(4+3)=7$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,5^{3}0!}{2.4(4+1)!}}.\frac{1}{7!}=2,2641e-06$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,5\vec r$

m = -3

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-3|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-3|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-3,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-3}.(-1)^{|-3|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-3|)!}{(1+|-3|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,039336.\vec\sigma$

m = -2

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-2|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-2|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-2}.(-1)^{|-2|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-2|)!}{(1+|-2|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,096354.\vec\sigma$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,3047.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(3,0,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.\vec\sigma=$ $f_{ang}(3,0,\vec\theta,\vec\phi)=(-1)^{0}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-0)!}{(1+0)!}}.\vec\sigma=0,74635.\vec\sigma$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(3,1,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{1}.(-1)^{1}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-1)!}{(1+1)!}}.real(\vec\sigma)=0,3047.\vec\sigma$

m = 2

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i2\vec\phi}.f_{leg}(3,2,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{2}.(-1)^{2}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-2)!}{(1+2)!}}.real(\vec\sigma)=0,096354.\vec\sigma$

m = 3

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i3\vec\phi}.f_{leg}(3,3,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,3,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{3}.(-1)^{3}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-3)!}{(1+3)!}}.real(\vec\sigma)=0,039336.\vec\sigma$

n = 5

$Z=1,\ a_{0}=1$

$\alpha=\frac{2Z}{n.a_{0}}=$ $\frac{2.1}{5_{x}1}=0,4$

l = 0

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $0,00012172(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{0}f_{lag}(4,1,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(5-0-1)=4$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.0+1)=1$

$\lambda=(n+l)=$ $(5+0)=5$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,4^{3}4!}{2.5(5+1)!}}.\frac{1}{5!}=0,00012172$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,4\vec r$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(0,0,cos(\vec\theta))$

l = 1

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $1,0143e-05(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{1}f_{lag}(3,3,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(5-1-1)=3$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.1+1)=3$

$\lambda=(n+l)=$ $(5+1)=6$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,4^{3}3!}{2.5(5+1)!}}.\frac{1}{6!}=1,0143e-05$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,4\vec r$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(1,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(1,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.1+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,4886.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(1,0,cos(\vec\theta))$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(1,1,cos(\vec\theta))$

l = 2

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $8,3658e-07(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{2}f_{lag}(2,5,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(5-2-1)=2$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.2+1)=5$

$\lambda=(n+l)=$ $(5+2)=7$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,4^{3}2!}{2.5(5+1)!}}.\frac{1}{7!}=8,3658e-07$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,4\vec r$

m = -2

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-2|\vec\phi}.f_{leg}(2,|-2|,cos(\vec\theta))$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(2,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,36418.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(2,0,cos(\vec\theta))$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(2,1,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{1}.(-1)^{1}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-1)!}{(1+1)!}}.real(\vec\sigma)=0,36418.\vec\sigma$

m = 2

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i2\vec\phi}.f_{leg}(2,2,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{2}.(-1)^{2}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-2)!}{(1+2)!}}.real(\vec\sigma)=0,18209.\vec\sigma$

l = 3

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $7,3944e-08(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{3}f_{lag}(1,7,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(5-3-1)=1$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.3+1)=7$

$\lambda=(n+l)=$ $(5+3)=8$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,4^{3}1!}{2.5(5+1)!}}.\frac{1}{8!}=7,3944e-08$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,4\vec r$

m = -3

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-3|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-3|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-3,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-3}.(-1)^{|-3|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-3|)!}{(1+|-3|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,039336.\vec\sigma$

m = -2

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-2|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-2|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-2}.(-1)^{|-2|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-2|)!}{(1+|-2|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,096354.\vec\sigma$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,3047.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(3,0,cos(\vec\theta))$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(3,1,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{1}.(-1)^{1}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-1)!}{(1+1)!}}.real(\vec\sigma)=0,3047.\vec\sigma$

m = 2

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i2\vec\phi}.f_{leg}(3,2,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{2}.(-1)^{2}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-2)!}{(1+2)!}}.real(\vec\sigma)=0,096354.\vec\sigma$

m = 3

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i3\vec\phi}.f_{leg}(3,3,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,3,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{3}.(-1)^{3}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-3)!}{(1+3)!}}.real(\vec\sigma)=0,039336.\vec\sigma$

n = 6

$Z=1,\ a_{0}=1$

$\alpha=\frac{2Z}{n.a_{0}}=$ $\frac{2.1}{6_{x}1}=0,33333$

l = 0

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $1,1906e-05(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{0}f_{lag}(5,1,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(6-0-1)=5$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.0+1)=1$

$\lambda=(n+l)=$ $(6+0)=6$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,33333^{3}5!}{2.6(6+1)!}}.\frac{1}{6!}=1,1906e-05$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,33333\vec r$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(0,0,cos(\vec\theta))$

l = 1

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $7,6065e-07(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{1}f_{lag}(4,3,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(6-1-1)=4$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.1+1)=3$

$\lambda=(n+l)=$ $(6+1)=7$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,33333^{3}4!}{2.6(6+1)!}}.\frac{1}{7!}=7,6065e-07$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,33333\vec r$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(1,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(1,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.1+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,4886.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(1,0,cos(\vec\theta))$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(1,1,cos(\vec\theta))$

l = 2

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $4,7541e-08(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{2}f_{lag}(3,5,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(6-2-1)=3$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.2+1)=5$

$\lambda=(n+l)=$ $(6+2)=8$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,33333^{3}3!}{2.6(6+1)!}}.\frac{1}{8!}=4,7541e-08$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,33333\vec r$

m = -2

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-2|\vec\phi}.f_{leg}(2,|-2|,cos(\vec\theta))$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(2,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,36418.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(2,0,cos(\vec\theta))$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(2,1,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{1}.(-1)^{1}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-1)!}{(1+1)!}}.real(\vec\sigma)=0,36418.\vec\sigma$

m = 2

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i2\vec\phi}.f_{leg}(2,2,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{2}.(-1)^{2}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-2)!}{(1+2)!}}.real(\vec\sigma)=0,18209.\vec\sigma$

l = 3

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $3,0497e-09(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{3}f_{lag}(2,7,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(6-3-1)=2$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.3+1)=7$

$\lambda=(n+l)=$ $(6+3)=9$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,33333^{3}2!}{2.6(6+1)!}}.\frac{1}{9!}=3,0497e-09$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,33333\vec r$

m = -3

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-3|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-3|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-3,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-3}.(-1)^{|-3|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-3|)!}{(1+|-3|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,039336.\vec\sigma$

m = -2

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-2|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-2|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-2}.(-1)^{|-2|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-2|)!}{(1+|-2|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,096354.\vec\sigma$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,3047.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(3,0,cos(\vec\theta))$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(3,1,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{1}.(-1)^{1}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-1)!}{(1+1)!}}.real(\vec\sigma)=0,3047.\vec\sigma$

m = 2

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i2\vec\phi}.f_{leg}(3,2,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{2}.(-1)^{2}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-2)!}{(1+2)!}}.real(\vec\sigma)=0,096354.\vec\sigma$

m = 3

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i3\vec\phi}.f_{leg}(3,3,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,3,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{3}.(-1)^{3}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-3)!}{(1+3)!}}.real(\vec\sigma)=0,039336.\vec\sigma$

n = 7

$Z=1,\ a_{0}=1$

$\alpha=\frac{2Z}{n.a_{0}}=$ $\frac{2.1}{7_{x}1}=0,28571$

l = 0

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $1,0822e-06(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{0}f_{lag}(6,1,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(7-0-1)=6$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.0+1)=1$

$\lambda=(n+l)=$ $(7+0)=7$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,28571^{3}6!}{2.7(7+1)!}}.\frac{1}{7!}=1,0822e-06$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,28571\vec r$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(0,0,cos(\vec\theta))$

l = 1

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $5,5226e-08(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{1}f_{lag}(5,3,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(7-1-1)=5$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.1+1)=3$

$\lambda=(n+l)=$ $(7+1)=8$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,28571^{3}5!}{2.7(7+1)!}}.\frac{1}{8!}=5,5226e-08$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,28571\vec r$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(1,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(1,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.1+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,4886.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(1,0,cos(\vec\theta))$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(1,1,cos(\vec\theta))$

l = 2

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $2,7442e-09(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{2}f_{lag}(4,5,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(7-2-1)=4$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.2+1)=5$

$\lambda=(n+l)=$ $(7+2)=9$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,28571^{3}4!}{2.7(7+1)!}}.\frac{1}{9!}=2,7442e-09$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,28571\vec r$

m = -2

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-2|\vec\phi}.f_{leg}(2,|-2|,cos(\vec\theta))$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(2,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,36418.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(2,0,cos(\vec\theta))$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(2,1,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{1}.(-1)^{1}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-1)!}{(1+1)!}}.real(\vec\sigma)=0,36418.\vec\sigma$

m = 2

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i2\vec\phi}.f_{leg}(2,2,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(2,2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{2}.(-1)^{2}.\sqrt{\frac{2.2+1}{4\pi}.\frac{(1-2)!}{(1+2)!}}.real(\vec\sigma)=0,18209.\vec\sigma$

l = 3

$\mathcal{\vec R}=\xi(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec \rho)=$ $1,3721e-10(e^{\frac{-\vec \rho}{2}})(\vec \rho)^{3}f_{lag}(3,7,\vec \rho)$

$\beta=(n-l-1)=$ $(7-3-1)=3$

$\gamma=(2l+1)=$ $(2.3+1)=7$

$\lambda=(n+l)=$ $(7+3)=10$

$\xi=\sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}}.\frac{1}{\lambda!}=$ $\sqrt{\frac{0,28571^{3}3!}{2.7(7+1)!}}.\frac{1}{10!}=1,3721e-10$

$\vec \rho=\alpha\vec r=$ $0,28571\vec r$

m = -3

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-3|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-3|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-3,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-3}.(-1)^{|-3|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-3|)!}{(1+|-3|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,039336.\vec\sigma$

m = -2

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-2|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-2|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-2}.(-1)^{|-2|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-2|)!}{(1+|-2|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,096354.\vec\sigma$

m = -1

$\vec\sigma=e^{i|m|\vec\phi}.f_{leg}(l,|m|,cos(\vec\theta))=$ $e^{i|-1|\vec\phi}.f_{leg}(3,|-1|,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{|m|}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-|m|)!}{(1+|m|)!}}.imag(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,-1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{-1}.(-1)^{|-1|}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-|-1|)!}{(1+|-1|)!}}.imag(\vec\sigma)=0,3047.\vec\sigma$

m = 0

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i0\vec\phi}.f_{leg}(3,0,cos(\vec\theta))$

m = 1

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i1\vec\phi}.f_{leg}(3,1,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,1,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{1}.(-1)^{1}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-1)!}{(1+1)!}}.real(\vec\sigma)=0,3047.\vec\sigma$

m = 2

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i2\vec\phi}.f_{leg}(3,2,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,2,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{2}.(-1)^{2}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-2)!}{(1+2)!}}.real(\vec\sigma)=0,096354.\vec\sigma$

m = 3

$\vec\sigma=e^{im\vec\phi}.f_{leg}(l,m,cos(\vec\theta))=$ $e^{i3\vec\phi}.f_{leg}(3,3,cos(\vec\theta))$

$\mathcal{\vec Y}=f_{ang}(l,m,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{m}.(-1)^{m}.\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}.\frac{(1-m)!}{(1+m)!}}.real(\vec\sigma)=$ $f_{ang}(3,3,\vec\theta,\vec\phi)=\sqrt{2}(-1)^{3}.(-1)^{3}.\sqrt{\frac{2.3+1}{4\pi}.\frac{(1-3)!}{(1+3)!}}.real(\vec\sigma)=0,039336.\vec\sigma$

A função de ondas é:

$\vec{\psi} = \mathcal{\vec{R}} \cdot \mathcal{\vec{Y}}$

(I)

onde temos a função de ondas radial:

$\mathcal{\vec{R}} = f_{R}(Z,n,l,a0,\vec{r}) = \xi(e^{-\frac{\vec{\rho}}{2}})(\vec{\rho})^{l}f_{lag}(\beta,\gamma,\vec{\rho})$

(II)

em que:

$\vec{\rho} = f_{\rho}(\alpha\vec{r}) = \alpha\vec{r}$

(III)

$\alpha = f_{\alpha}(Z,n,a_0) = \frac{2Z}{n \cdot a_0}$

(IV)

$\beta = f_{\beta}(n,l) = (n-l-1)$

(V)

$\gamma = f_{\gamma}(l) = (2l+1)$

(VI)

$\lambda = f_{\lambda}(\beta,\gamma) = (\beta + \gamma)$

(VII)

$ \xi = f_{\xi}(n,\alpha,\beta,\lambda) = \sqrt{\frac{\alpha^{3}\beta!}{2n(n+1)!}} \cdot \frac{1}{\lambda!}$

(VIII)

e a função de ondas angular:

$\mathcal{\vec{Y}} = f_{Y}(l,|m|,\vec{\theta},\vec{\phi})$

$\sqrt{2}(-1)^{m}(-1)^{\|m\|}\sqrt{\frac{2l+1}{4\\pi}\frac{(1-\|m\|)!}{(1+\|m\|)!}}\ \text{imag}(\vec{\sigma})$	∀m<0
$ (-1)^{m} \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(1-m)!}{(1+m)!}} \ \vec{\sigma}$	∀m=0
$ \sqrt{2}(-1)^{m}(-1)^{\|m\|}\sqrt{\\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(1-m)!}{(1+\|m\|)!}}\ \text{real}(\vec{\sigma})$	∀m>0

(IX)

em que:

$\vec{\sigma} = f_{\vec{\sigma}}(l,m,\vec{\theta},\vec{\phi}) = e^{i|m|\vec{\\phi}} \cdot f_{\text{leg}}(l,|m|,\cos(\vec{\theta}))$

(X)

MQML - Mecânica Quântica com MATLAB - foi produzido com a linguagem MATLAB usando o software OCTAVE, utilizando como base o algoritmo de Peter Van Alem na página Hidrogen Orbitals do site MathWorks, disponível em https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/64274-hydrogen-orbitals.

Ψ = R . Y

n = 1

l = 0

m = 0

n = 2

l = 0

m = 0

l = 1

m = -1

m = 0

m = 1

n = 3

l = 0

m = 0

l = 1

m = -1

m = 0

m = 1

l = 2

m = -2

m = -1

m = 0

m = 1

m = 2

n = 4

l = 0

m = 0

l = 1

m = -1

m = 0

m = 1

l = 2

m = -2

m = -1

m = 0

m = 1

m = 2

l = 3

m = -3

m = -2

m = -1

m = 0

m = 1

m = 2

m = 3

n = 5

l = 0

m = 0

l = 1

m = -1

m = 0

m = 1

l = 2

m = -2

m = -1

m = 0

m = 1

m = 2

l = 3

m = -3

m = -2

m = -1

m = 0

m = 1

m = 2

m = 3

n = 6

l = 0

m = 0

l = 1

m = -1

m = 0

m = 1

l = 2

m = -2

m = -1

m = 0

m = 1

m = 2

l = 3